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          不定方程的解题技巧

          来源:国家事业单位考试网 2018-01-03 15:05:02
            不定方程定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的方程(方程组)。简单地说就是未知数个数大于方程个数,比如:方程a+7b=21。


            不定方程的解一般有无数个,但命题人不会出没有答案的考题,因此,解不定方程的方法有下面几种:


            一、尾数法


            当未知数的系数有5或10的倍数时使用


            有271位游客欲乘大、小两种客车旅游,已知大客车有37个座位,小客车有20个座位。为保证每位游客均有座位,且车上没有空座位,则需要大客车的辆数是:


            A.1辆 B.3辆 C.2辆 D.4辆


            【答案】B


            参考解析:尾数法,设大客车需要x辆,小客车需要y辆,则37x+20y=271,20y的尾数一定是0,则37x的尾数等于271的尾数1,由于3×7=(21),x的尾数就是3,结合选项,正确答案就是B。


            二、奇偶性


            当未知数的系数有偶数时使用


            某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师,培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均地分给各个老师带领,刚好能够分完,且每位老师所带的学生数量都是质数。后来由于学生人数减少,培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师,但每名教师所带的学生数量不变,那么目前培训中心还剩下学员多少人?


            A.36 B.37 C.39 D.41


            【答案】D


            参考解析:此题初看无处入手,条件仅仅有每位教师所带学生数量为质数,条件较少,无法直接利用数量关系来推断,需利用方程法。


            设每位钢琴教师带x名学生,每位拉丁舞教师带y名学生,则x、y为质数,且5x+6y=76。对于这个不定方程,需要从整除特性、奇偶性或质合性来解题。


            很明显,6y是偶数,76是偶数,则5x为偶数,x为偶数。然而x又为质数,根据“2是唯一的偶质数”可知,x=2,代入原式得y=11。现有4名钢琴教师和3名拉丁舞教师,则剩下学员4×2+3×11=41人。因此选择D。


            三、整除法


            利用整除的加和性,如:a+b=c,若a能被x整除,c也能被x整除,那么b一定能被x整除。


            小李用150元钱购买了16元一个的书包、10元一个的计算器和7元一支的钢笔寄给灾区儿童,如果他买的每一样物品数量都不相同,且书包数量最多而钢笔数量最少,那么他买的计算器数量比钢笔多多少个?


            A.1 B.2 C.3 D.4


            【答案】B


            参考解析:用150元购买16元一个的书包、10元一个的计算器和7元一个的钢笔,设买了x个书包,y个计算器和z支钢笔,则16x+10y+7z=150,这是个不定方程。由于16x、10y和150都是偶数,则7z为偶数,z只能为偶数。由于zz=2,则x只能取6(当x取更大值时,y为负数),y=4,满足题意。故计算器比钢笔多4-2=2个。

           

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